12997. Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
— высоты треугольника ABC
, а u
, v
, w
— расстояния до соответствующих сторон от точки M
, находящейся внутри треугольника. Докажите неравенства:
\mbox{а)}~\frac{h_{1}}{u}+\frac{h_{2}}{v}+\frac{h_{3}}{w}\geqslant9;~\mbox{б)}~h_{1}h_{2}h_{3}\geqslant27uvw;~\mbox{в)}~\frac{h_{1}}{u}+\frac{h_{2}}{v}+\frac{h_{3}}{w}\geqslant8uvw.
Решение. Пусть AB=c
, AC=b
, BC=a
, высоты, опущенные на эти стороны равны h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
соответственно, расстояния от точки M
до этих сторон равны u
, v
, w
соответственно, а площадь треугольника ABC
равна S
.
а) Докажем сначала, что для точки, расположенной на стороне AB
треугольника ABC
, выражение \frac{h_{1}}{u}+\frac{h_{2}}{v}
достигает наименьшего значения в случае, если M
— середина AB
.
Пусть t=\frac{h_{1}}{u}+\frac{h_{2}}{v}
. Из равенства ah_{1}+bh_{2}=2S
выражаем v=\frac{2S-au}{b}
. Значит, учитывая, что ah_{1}=bh_{2}
, получаем
t=\frac{h_{1}}{u}+\frac{h_{2}}{v}=\frac{2Sh_{1}+auh_{1}+h_{2}b}{u(2S-au)}~\Rightarrow~atu^{2}-2Stu+2h_{1}S=0.
Пусть D
— дискриминант этого квадратного уравнения. Тогда
\frac{D}{4}=S^{2}t^{2}-2ah_{1}St=S^{2}t^{2}-4S^{2}t=S^{2}(t^{2}-4t)\geqslant0,
а так как t\gt0
, то наименьшее значение t
, для которых дискриминант неотрицателен, это t=4
. При этом
u=\frac{S}{a}=\frac{h_{1}}{2},~\frac{h_{2}}{v}=4-\frac{h_{1}}{u}=4-\frac{h_{1}}{\frac{h_{1}}{2}}=2,~v=\frac{h_{2}}{2}.
Следовательно, M
— середина AB
.
Из доказанного утверждения следует, что какова бы ни была сумма \frac{h_{1}}{u}+\frac{h_{2}}{v}+\frac{h_{3}}{w}
, она не увеличится, если точку M
поместить на медиану CK
треугольника ABC
. Аналогично, точка M
лежит на остальных медианах треугольника, т. е. совпадает с точкой их пересечения.
Тогда расстояние от точки M
до стороны треугольника равно трети соответствующей высоты. Следовательно,
\frac{h_{1}}{u}+\frac{h_{2}}{v}+\frac{h_{3}}{w}\geqslant\frac{h_{1}}{\frac{1}{3}h_{1}}+\frac{h_{2}}{\frac{1}{3}h_{2}}+\frac{h_{3}}{\frac{1}{3}h_{3}}=3+3+3=9.
Что и требовалось доказать.
б) Аналогично пункту а) докажем, что для точки, расположенной на стороне AB
треугольника ABC
, выражение t=\frac{h_{1}}{u}\cdot\frac{h_{2}}{v}
достигает наименьшего значения в случае, если M
— середина AB
. В этом случае соответствующее квадратное уравнение имеет вид
atu^{2}-2Stu+h_{1}h_{2}b=0.
Тогда
\frac{D}{4}=S^{2}t^{2}-ah_{1}\cdot bh_{2}t=S^{2}t^{2}-4S^{2}t=S^{2}(t^{2}-4t),
Минимальное значение t
, равное 4, достигается при u=\frac{h_{1}}{2}
и v=\frac{h_{2}}{2}
. Значит, точка M
должна лежать на медиане AK
. Аналогично, точка M
должна лежать на остальных медианах треугольника, а значит, должна совпасть с точкой их пересечения. Тогда расстояние от точки M
до стороны треугольника равно трети соответствующей высоты. Следовательно,
\frac{h_{1}}{u}\cdot\frac{h_{2}}{v}\cdot\frac{h_{3}}{w}\geqslant\frac{h_{1}}{\frac{h_{1}}{3}}\cdot\frac{h_{2}}{\frac{h_{2}}{3}}\cdot\frac{h_{3}}{\frac{h_{3}}{3}}=3\cdot3\cdot3=27.
Что и требовалось доказать.
в) Аналогично предыдущим двум пунктам.