13002. В угол с вершиной A
вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B
и C
. В области, ограниченной отрезками AB
, AC
и меньшей дугой BC
, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает AB
.
Решение. Можно считать, что отрезок имеет общую точку с меньшей дугой BC
. Если это не так, то с помощью гомотетии с центром A
и коэффициентом, большим 1, его можно перевести в отрезок, содержащейся в рассматриваемой области и имеющий общую точку X
с меньшей дугой BC
.
Через точку X
проведём касательную DE
к данной окружности (точки D
и E
лежат на отрезках AB
и AC
). Тогда
DE\lt AD+AE~\Rightarrow~2DE\lt DE+AD+AE~\Rightarrow~
~\Rightarrow~DE\lt\frac{1}{2}(DE+AD+AE)=AB
(см. задачу 1750). Таким образом, все стороны треугольника ADE
меньше AB
. Следовательно, длина нашего отрезка, лежащего внутри этого треугольника, не превосходит AB
(см. задачу 3509). Что и требовалось доказать.