13014. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
. На прямой CH
взята точка K
, для которой сторона AB
видна под прямым углом. Докажите, что площадь треугольника ABK
есть среднее геометрическое площадей треугольников ABC
и AHB
.
Решение. Пусть CD=h
— высота треугольника ABC
. Обозначим AB=c
, AD=m
, BD=n
, HD=t
. Пусть луч CD
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке E
. Тогда DE=HD=t
(см. задачу 4785), поэтому (см. задачу 2627)
mn=AD\cdot BD=CD\cdot DE=ht.
Значит,
\frac{S_{\triangle AKB}}{S_{\triangle AHB}}=\frac{\frac{1}{2}c\cdot KD}{\frac{1}{2}c\cdot HD}=\frac{KD}{HD}=\frac{\sqrt{mn}}{t},
Аналогично, \frac{S_{\triangle AKB}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\sqrt{mn}}{h}
. Перемножим эти равенства, получим
\frac{S_{\triangle AKB}^{2}}{S_{\triangle AHB}\cdot S_{\triangle ABC}}=\frac{mn}{th}=1.
Следовательно, S_{\triangle AKB}^{2}=S_{\triangle ABC}\cdot S_{\triangle ABH}
. Что и требовалось доказать.