13018. Равносторонний треугольник ABC
вписан в окружность. На дуге AC
, не содержащей точку B
, отмечена произвольная точка X
, которая соединена с вершинами треугольника. Отрезки XB
и AC
пересекаются в точке B_{1}
. Докажите, что
\frac{1}{AX}+\frac{1}{CX}=\frac{1}{B_{1}X}.
Решение. Первый способ. На продолжении отрезка AX
за точку X
отложим отрезок XD=XC
. Тогда
\angle DXC=\angle ABC=60^{\circ},
поэтому равнобедренный треугольник CDX
— равносторонний. Значит,
\angle DCX=60^{\circ}=\angle BXC.
Следовательно, XB_{1}\parallel CD
.
Треугольники AXB_{1}
и ADC
подобны, поэтому
\frac{AX}{B_{1}X}=\frac{AD}{CD}=\frac{AX+XD}{DC}=\frac{AX+CX}{CX}=\frac{AX}{CX}+1,
откуда
\frac{1}{B_{1}X}=\frac{1}{CX}+\frac{1}{AX}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Поскольку \angle AXB=\angle CXB
, луч XB
— биссектриса угла AXC
, а XB_{1}
— биссектриса треугольника AXC
. Значит (см. задачу 4021),
B_{1}X=\frac{2AX\cdot CX\cos\frac{1}{2}\angle AXC}{AX+CX}=\frac{2AX\cdot CX\cos60^{\circ}}{AX+CX}=\frac{AX\cdot CX}{AX+CX}.
Следовательно,
\frac{1}{B_{1}X}=\frac{AX+CX}{AX\cdot CX}=\frac{1}{CX}+\frac{1}{AX}.
Что и требовалось доказать.