13022. Через точку пересечения медиан треугольника проведена прямая, Докажите, что сумма расстояний до этой прямой от двух вершин треугольника, расположенных по одну от неё, равно расстоянию от третьей вершины.
Решение. Пусть BD
— медиана треугольника ABC
, а вершины A
и C
лежат по одну сторону от прямой, проходящей через точку M
пересечения медиан треугольника. Опустим перпендикуляры AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DE
на эту прямую. Обозначим DE=t
.
Из подобия прямоугольных треугольников BB_{1}M
и DEM
получаем, что
BB_{1}=\frac{BM}{MD}\cdot DE=2x,
а из трапеции (или прямоугольника) AA_{1}C_{1}C
—
AA_{1}+CC_{1}=2DE=2x=BB_{1}.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для случаев, когда точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой, проходящей через центр вписанной окружности треугольника, и когда точки B
и C
лежат по одну сторону от такой прямой.
Примечание. Следствие. Алгебраическая сумма расстояний от вершин треугольника до прямой, проходящей через точку пересечения медиан, равна 0.