13024. Пусть AA'=d_{a}
, BB'=d_{b}
и CC'=d_{c}
— перпендикуляры, опущенные на произвольную данную прямую из вершин треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
, то
|ad_{a}+bd_{b}+cd_{c}|=2pd,
где p
— полупериметр треугольника, а d
— расстояние от центра вписанной окружности до данной прямой.
Решение. Через центр вписанной окружности треугольника ABC
проведём прямую l_{1}
, параллельную данной прямой l
, и опустим на неё перпендикуляры
AA_{1}=d'_{a},~BB_{1}=d'_{b},~CC_{1}=d'_{c}.
Тогда
A_{1}A'=B_{1}B'=C_{1}C'=d,
а так как с учётом направленности отрезков d_{a}
, d_{b}
и d_{c}
верно равенство
AA_{1}a+BB_{1}b+CC_{1}c=0
(см. примечание к задаче 13023), то
ad_{a}+bd_{b}+cd_{c}=a(AA_{1}+A_{1}A')+b(BB_{1}+B_{1}B')+c(CC_{1}+C_{1}C')=
=(AA_{1}a+BB_{1}b+CC_{1}c)+(A_{1}A'a+B_{1}B'b+C_{1}C'C)=
=0+(ad'_{a}+bd'_{b}+cd'_{c})=(a+b+c)d=2pd.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Следствие. Пусть d_{a}
, d_{b}
и d_{c}
— перпендикуляры, опущенные из вершин соответственно A
, B
и C
треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
на произвольную касательную к вписанной окружности треугольника, то модуль алгебраической суммы ad_{a}+bd_{b}+cd_{c}
равен удвоенной площади треугольника ABC
.
Действительно, в этом случае d=r
— радиусу вписанной окружности треугольника ABC
, а 2pr
— удвоенной площади треугольника (см. задачу 452).