13027. Пусть прямые l_{1}
и l_{2}
заданы уравнениями y=k_{1}x+b_{1}
и k_{2}x+b_{2}
соответственно. Докажите, что тангенс угла между ними можно вычислить по формуле
\tg\varphi=\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}.
Решение. Если k_{1}=k_{2}
, то прямые l_{1}
и l_{2}
параллельны (см. задачу 4207) или совпадают. Тогда угол между ними равен 0^{\circ}
.
Если k_{1}\ne k_{2}
, то прямые пересекаются (см. рис.). Точка их пересечения и точки их пересечения с осью Ox
образуют треугольник. Если \alpha_{1}
и \alpha_{2}
— углы, которые образуют прямые l_{1}
и l_{2}
с положительным направлением оси Ox
, то по теореме о внешнем угле треугольника
\varphi=\alpha_{2}-\alpha_{1},
поэтому
\tg\varphi=\tg(\alpha_{2}-\alpha_{1})=\frac{\tg\alpha_{2}-\tg\alpha_{1}}{1+\tg\alpha_{1}\tg\alpha_{2}}=\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}.
Примечание. Из полученной формулы следует условие перпендикулярности прямых, заданных уравнениями y=k_{1}x+b_{1}
и k_{2}x+b_{2}
, т. е. k_{1}k_{2}=-1
.