13033. Дан параллелограмм ABCD
с острым углом DAB
, равным \alpha
. Известно, что AB=a
, AD=b
(a\lt b
). Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины B
на AD
, а M
— основание перпендикуляра, опущенного из точки K
на продолжение стороны CD
. Найдите площадь треугольника BKM
.
Ответ. \frac{1}{2}a(b-a\cos\alpha)\sin^{3}\alpha
.
Решение. Поскольку CM\parallel AB
, то
\angle KDM=\angle ADM=\angle DAB=\alpha,
Тогда
\angle DKM=90^{\circ}-\alpha,~\angle BKM=90^{\circ}+(90^{\circ}-\alpha)=180^{\circ}-\alpha.
Из прямоугольных треугольников ABK
и DMK
находим, что
BK=AB\sin\alpha=a\sin\alpha,
KM=DK\sin\alpha=(AD-AK)\sin\alpha=(b-a\cos\alpha)\sin\alpha.
Следовательно,
S_{\triangle BKM}=\frac{1}{2}BK\cdot KM\sin\angle BKM=
=\frac{1}{2}a\sin\alpha\cdot(b-a\cos\alpha)\sin\alpha\cdot\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}a(b-a\cos\alpha)\sin^{3}\alpha.