13038. В прямоугольном треугольнике ABC
катет CA
равен b
, катет CB
равен a
, CH
— высота, AM
— медиана. Найдите площадь треугольника BMH
.
Ответ. \frac{a^{3}b}{4(a^{2}+b^{2})}
.
Решение. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла (см. задачу 2728),
\frac{BH}{AH}=\frac{\frac{BC^{2}}{AB}}{\frac{AC^{2}}{AB}}=\frac{BC^{2}}{AC^{2}}=\frac{a^{2}}{b^{2}},
поэтому \frac{BH}{AB}=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}
. Следовательно (см. задачу 3007),
S_{\triangle BMH}=\frac{BM}{BC}\cdot\frac{BH}{AB}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}\cdot\frac{1}{2}ab=\frac{a^{3}b}{4(a^{2}+b^{2})}.