13046. В параллелограмме ABCD
угол BAC
вдвое больше угла CAD
. Биссектриса угла BAC
пересекает отрезок BC
в точке L
. На продолжении стороны CD
за точку D
выбрана такая точка E
, что AE=CE
.
а) Докажите, что AL\cdot BC=AB\cdot AC
.
б) Найдите EL
, если AC=8
, \tg\angle BCA=\frac{1}{2}
.
Ответ. \frac{22}{3}
.
Решение. а) Пусть \angle CAD=\alpha
, тогда
\angle BAC=2\alpha,~\angle BAL=\alpha,~\angle ACB=\angle CAD=\alpha.
Значит, треугольники ABL
и CBA
с общим углом при вершине B
подобны по двум углам. Тогда \frac{AB}{BC}=\frac{AL}{AC}
. Следовательно, AL\cdot BC=AB\cdot AC
. Что и требовалось доказать.
б) Поскольку \angle ACL=\angle CAL
, треугольник ALC
равнобедренный, AL=CL
. Треугольники ALC
и AEC
равны по трём сторонам, поэтому луч LE
— биссектриса угла ALC
, а биссектриса LF
равнобедренного треугольника ALC
является его медианой и высотой. Значит, \angle LFC=90^{\circ}
и CF=\frac{1}{2}AC=4
.
Из прямоугольных треугольников LFC
и CFE
находим, что
LF=CF\tg LCF=4\tg\alpha=4\cdot\frac{1}{2}=2,
FE=CF\tg\angle FCE=CF\tg\angle BAC=4\cdot\tg2\alpha=\frac{4\cdot2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=\frac{16}{3}.
Следовательно,
LE=LF+FE=2+\frac{16}{3}=\frac{22}{3}.