13054. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AB
проведены высота AH
и биссектриса BE
, причём точка H
лежит на отрезке BC
. Известно, что AB=a
, а угол при основании равен \alpha
. Найдите площадь треугольника CHE
.
Ответ. -\frac{a^{2}\sin4\alpha}{16\cos^{2}\alpha(1+2\cos\alpha)}=-\frac{a^{2}\sin4\alpha\sin\frac{\alpha}{2}}{16\cos^{2}\alpha\sin\frac{3\alpha}{2}}
.
Решение. Поскольку
\angle ACB=180^{\circ}-2\alpha,
то
\cos\angle ACB=\cos(180^{\circ}-2\alpha)=-\cos2\alpha.
(Эта величина положительная, так как точка H
лежит на отрезке BC
, а не на его продолжении, поэтому угол ACB
(т. е. угол ACH
) острый, и его косинус положителен.)
Пусть M
— середина основания AB
. Тогда CM
— высота треугольника ABC
. Из прямоугольных треугольников AMC
и AHC
находим, что
CM=BM\tg\alpha=\frac{1}{2}a\tg\alpha,~AC=BC=\frac{BM}{\cos\alpha}=\frac{a}{2\cos\alpha},
CH=AC\cos(180^{\circ}-2\alpha)=-\frac{a\cos2\alpha}{2\cos\alpha}.
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}=\frac{\frac{a}{2\cos\alpha}}{a}=\frac{1}{2\cos\alpha},
поэтому
\frac{CE}{AC}=\frac{CE}{CE+AE}=\frac{1}{1+2\cos\alpha},
откуда
CE=\frac{AC}{1+2\cos\alpha}=\frac{a}{2\cos\alpha(1+2\cos\alpha)}.
Следовательно,
S_{\triangle CHE}=\frac{1}{2}CE\cdot CH\sin\angle ACB=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2\cos\alpha(1+2\cos\alpha)}\cdot\left(-\frac{a\cos2\alpha}{2\cos\alpha}\right)\cdot\sin(180^{\circ}-2\alpha)=
-\frac{1}{8}\cdot\frac{a^{2}\cos2\alpha\sin2\alpha}{(1+2\cos\alpha)\cos^{2}\alpha}==-\frac{a^{2}\sin4\alpha}{16\cos^{2}\alpha(1+2\cos\alpha)}.
Второй способ. Применив теорему синусов к треугольнику BCE
, получим \frac{CE}{\sin\angle CBE}=\frac{BC}{\sin\angle BEC}
, откуда
CE=\frac{BC\sin\angle CBE}{\sin\angle BEC}=\frac{\frac{a}{2\cos\alpha}\cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{3\alpha}{2}}.
S_{\triangle CHE}=\frac{1}{2}CE\cdot CH\sin\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{a}{2\cos\alpha}\cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{3\alpha}{2}}\cdot\left(-\frac{a\cos2\alpha}{2\cos\alpha}\right)\cdot\sin2\alpha=
=-\frac{a^{2}\sin4\alpha\sin\frac{\alpha}{2}}{16\cos^{2}\alpha\sin\frac{3}{2}\alpha}.