13062. Треугольник ABC
, угол B
которого равен 2\alpha\lt60^{\circ}
, вписан в окружность радиуса R
. Диаметр окружности делит угол B
пополам. Касательная к окружности в точке A
пересекает продолжение стороны BC
в точке M
. Найдите площадь треугольника ABM
Ответ. \frac{4R^{2}\sin\alpha\cos^{4}\alpha}{\cos3\alpha}
.
Решение. Пусть BP
— диаметр окружности. Тогда прямоугольные треугольники ABK
и CBK
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому BC=AB
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный. Заметим, что если 2\alpha=60^{\circ}
, то этот треугольник равносторонний. В этом случае, касательная в точке A
параллельна стороне BC
, так как, если отметить на касательной точку D
, лежащую с точкой C
по одну сторону от прямой AC
, то по теореме об угле между касательной и хордой
\angle CAD=\angle ABC=60^{\circ}=\angle BCA.
Если теперь 2\alpha\gt60^{\circ}
, то касательная в точке A
пересекает прямую BC
в точке, лежащей на продолжении отрезка BC
за точку B
, а при условии 2\alpha\lt60^{\circ}
(что дано в условии) касательная в точке A
пересекает прямую BC
в точке M
, лежащей на продолжении отрезка BC
за точку C
.
По теореме синусов
AC=2R\sin2\alpha,~AB=BK\cos\angle ABK=2R\cos\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACM=\angle ABC+\angle ACB=2\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}+\alpha,
\angle AMC=\angle ACB-\angle CAM=\angle ACB-\angle ABC=
=(90^{\circ}-\alpha)-2\alpha=90^{\circ}-3\alpha.
Применив теорему синусов к треугольнику ABC
, получим
\frac{AM}{\sin\angle ACM}=\frac{AC}{\angle AMC},~\mbox{или}~\frac{AM}{\cos\alpha}=\frac{2R\sin2\alpha}{\cos3\alpha},
откуда
AM=\frac{2R\sin2\alpha\cos\alpha}{\cos3\alpha},
а так как
\angle BAM=\angle BAC+\angle CAM=(90^{\circ}-\alpha)+2\alpha=90^{\circ}+\alpha,
то
\sin\angle BAM=\sin(90^{\circ}+\alpha)=\cos\alpha.
Следовательно,
S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}AB\cdot AM\sin\angle BAM=\frac{1}{2}\cdot2R\cos\alpha\cdot\frac{2R\sin2\alpha\cos\alpha}{\cos3\alpha}\cdot\cos\alpha=
=\frac{4R^{2}\sin\alpha\cos^{4}\alpha}{\cos3\alpha}.