13065. Из точки A
, расположенной вне круга с центром в точке O
, проведены две секущие. Одна пересекает окружность в точках B
и C
(B
лежит между A
и C
), другая проходит через центр круга и пересекает окружность в точках M
и N
(M
лежит между N
и A
); CA=a
, \angle CAO=\alpha
, \angle CON=\beta
. Найдите BC
.
Ответ. \frac{2a\sin\alpha\cos(\beta-\alpha)}{\sin\beta}
.
Решение. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACO=\angle CON-\angle CAO=\beta-\alpha.
Тогда из равнобедренного треугольника BOC
находим, что
\angle BOC=180^{\circ}-2(\beta-\alpha).
Обозначим BC=x
. Применив теорему синусов к треугольникам AOC
и BOC
, получим
\frac{r}{a}=\frac{CO}{AC}=\frac{\sin\alpha}{\sin(180^{\circ}-\beta)}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},
\frac{x}{r}=\frac{BC}{OC}=\frac{\sin(180^{\circ}-2(\beta-\alpha))}{\sin(\beta-\alpha)}=\frac{\sin(2(\beta-\alpha))}{\sin(\beta-\alpha)}=2\cos(\beta-\alpha).
После перемножения получаем
\frac{x}{a}=\frac{2\sin\alpha\cos(\beta-\alpha)}{\sin\beta}.
Следовательно,
BC=x=\frac{2a\sin\alpha\cos(\beta-\alpha)}{\sin\beta}.