13067. В треугольнике ABC
из вершин к противоположным сторонам проведены отрезки AM
, BN
и CP
(M
— точка на отрезке BC
, N
— на AC
и P
— на AB
), причём
\angle BAM=\frac{1}{3}\angle BAC,~\angle CBN=\frac{1}{4}\angle CBA,~\angle ACP=\frac{1}{5}\angle ACB.
Найдите стороны BC
и AC
, если AB=1
, а получившийся в пересечении отрезков AM
, BN
и CP
треугольник правильный.
Ответ. AC=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin48^{\circ}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4\sqrt{3}}
, BC=\frac{2}{\sqrt{3}}\cos18^{\circ}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть отрезки AM
и CP
пересекаются в точке E
, отрезки AM
и BN
— в точке F
, а отрезки BN
и CP
— в точке G
. Обозначим
\angle BAC=\alpha,~\angle ABC=\beta,~\angle ACB=\gamma.
Поскольку EFG
— внешний угол треугольника AFB
, то
\frac{1}{3}\alpha+\frac{3}{4}\beta=60^{\circ}.
Аналогично,
\frac{4}{5}\gamma+\frac{1}{4}\beta=60^{\circ},~\frac{1}{5}\gamma+\frac{2}{3}\alpha=60^{\circ}.
Из первого и третьего равенств, получим
\beta=\frac{4}{3}\left(60^{\circ}-\frac{1}{3}\alpha\right),~\gamma=5\left(60^{\circ}-\frac{2}{3}\alpha\right).
Подставив эти \beta
и \gamma
во второе равенство, получим
4\left(60^{\circ}-\frac{2}{3}\alpha\right)+\frac{1}{3}\left(60^{\circ}-\frac{1}{3}\alpha\right)=60^{\circ},
откуда \alpha=72^{\circ}
. Тогда
\beta=\frac{4}{3}\left(60^{\circ}-\frac{1}{3}\alpha\right)=\frac{4}{3}(60^{\circ}-24^{\circ})=48^{\circ},
\gamma=5\left(60^{\circ}-\frac{2}{3}\alpha\right)=5(60^{\circ}-48^{\circ})=60^{\circ}.
По теореме синусов
\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{AB}{\sin\gamma},~\frac{AC}{\sin\beta}=\frac{AB}{\sin\gamma},
Следовательно,
BC=\frac{AB}{\sin\gamma}\cdot\sin\alpha=\frac{1}{\sin60^{\circ}}\cdot\sin72^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\cos18^{\circ}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2\sqrt{3}}
(см. задачу 1494), а так как
\sin48^{\circ}=\sin(18^{\circ}+30^{\circ})=\sin18^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin30^{\circ}\cos18^{\circ}=
=\frac{1}{8}(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{10+2\sqrt{5}}),
то
AC=\frac{AB}{\sin\gamma}\cdot\sin\beta=\frac{1}{\sin60^{\circ}}\cdot\sin48^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin48^{\circ}=
=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4\sqrt{3}}.