13072. В прямоугольном треугольнике ABC
из вершины прямого угла B
опущена высота BE
и основание E
высоты соединено с точкой D
, лежащей на BC
. Найдите площадь треугольника DCE
, если \angle A=\alpha
, AC=b
, DC=r
.
Ответ. \frac{1}{2}br\sin^{2}\alpha\cos\alpha
.
Решение. Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
BC=AB\sin\alpha=b\sin\alpha,
а так как
\angle CBE=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha,
то из прямоугольного треугольника BEC
находим, что
CE=BC\sin\alpha=b\sin^{2}\alpha.
Следовательно (см. задачу 4254),
S_{\triangle DCE}=\frac{1}{2}CE\cdot CD\sin\angle DCE=\frac{1}{2}b\sin^{2}\alpha\cdot r\cdot\sin(90^{\circ}-\alpha)=
=\frac{1}{2}br\sin^{2}\alpha\cos\alpha.