13073. В прямоугольном треугольнике ABC
известно, что \angle B=90^{\circ}
, \angle A=\alpha
, AB=c
. На продолжении гипотенузы AC
за точку C
, взята такая точка D
, что AD=r
. Найдите площадь треугольника BCD
.
Ответ. \frac{1}{2}c\tg\alpha(r\cos\alpha-c)
.
Решение. Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
BC=AB\tg\alpha=c\tg\alpha,~AC=\frac{AB}{\cos\alpha}=\frac{c}{\cos\alpha}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BCD=90^{\circ}+\angle BAC=90^{\circ}+\alpha,
а так как
CD=AD-AC=r-\frac{c}{\cos\alpha},
то (см. задачу 4254),
S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}CD\cdot BC\sin\angle BCD=\frac{1}{2}\left(r-\frac{c}{\cos\alpha}\right)\cdot c\tg\alpha\cdot\sin(90^{\circ}+\alpha)=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{r\cos\alpha-c}{\cos\alpha}\cdot c\tg\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{1}{2}c\tg\alpha(r\cos\alpha-c).