13082. Дан прямоугольник ABCD
, у которого сторона BC
втрое больше, чем AB
. Требуется на продолжениях сторон AB
и BC
отложить равные друг другу отрезки BE
и BF
, чтобы сумма площадей треугольников ABF
, FEB
и ECB
была равна площади прямоугольника ABCD
.
Решение. Пусть AB=a
, BC=3a
, а BF=BE=x
. По условию
\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}3ax=4a^{2},~\mbox{или}~x^{2}+4ax-6a^{2}=0,
откуда x=-2a\pm a\sqrt{10}
. Условию задачи удовлетворяет только положительный корень этого уравнения, т. е.
BF=BE=x=-2a\pm a\sqrt{10}.
Заметим что диагональ прямоугольника ABCD
равна a\sqrt{10}
, поэтому построение искомого отрезка BE
возможно следующим способом. На диагонали AC
прямоугольника откладываем отрезок AP=2a
. Тогда
BF=BE=CP=AC-AP=a\sqrt{10}-2a.