13084. Окружности \Gamma
и \Gamma'
касаются внешним образом в точке T
. На окружности \Gamma'
отмечены точки P
и Q
, отличные от T
. На окружности \Gamma
отмечены точки A
и B
, причём PA
и QB
— касательные к окружности \Gamma
. Прямая PT
вторично пересекает окружность \Gamma'
в точке S
. Докажите, что PS\cdot QT=PA\cdot QB
.
Решение. Пусть прямая QT
вторично пересекает окружность \Gamma
в точке R
, а r
, r'
и O
, O'
— радиусы и центры окружностей \Gamma
и \Gamma'
соответственно. Окружность \Gamma'
гомотетична окружности \Gamma
с центром гомотетии T
и коэффициентом \frac{r'}{r}
(см. задачу 6401), поэтому
\frac{PT}{ST}=\frac{O'T}{OT}=\frac{r'}{r}=\frac{QT}{RT}.
Тогда
\frac{PT}{QT}=\frac{TS}{TR}=\frac{PT+TS}{QT+TR}=\frac{PS}{QR}\Rightarrow PT\cdot QR=PS\cdot QT.
По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
PT\cdot PS=PA^{2}~\mbox{и}~QT\cdot QR=QB^{2}.
Следовательно,
(PT\cdot PS)(QT\cdot QR)=PA^{2}\cdot QB^{2}\Rightarrow~(PT\cdot QR)(PS\cdot QT)=(PA\cdot QB)^{2}\Rightarrow~
~\Rightarrow~(PS\cdot QT)(PS\cdot QT)=(PA\cdot QB)^{2}\Rightarrow~(PS\cdot QT)^{2}=(PA\cdot QB)^{2}\Rightarrow~
\Rightarrow~PS\cdot QT=PA\cdot QB.
Что и требовалось доказать.