13091. В треугольнике ABC
со сторонами AB=13
, BC=14
и AC=15
найдите расстояние от точки пересечения высот до вершины A
.
Ответ. \frac{33}{4}
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p=\frac{13+14+15}{2}=21
— полупериметр, H
— точка пересечения высот, O
— центр описанной окружности, R
— её радиус, M
— середина стороны BC
.
По формуле Герона
S=\sqrt{21(21-15)(21-14)(21-13)}=\sqrt{21\cdot6\cdot7\cdot8}=7\cdot6\cdot2=84.
Тогда (см. задачу 4259)
R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8}.
Из прямоугольного треугольника BMO
находим, что
OM=\sqrt{OB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{\left(\frac{65}{8}\right)^{2}-7^{2}}=\frac{1}{8}\sqrt{65^{2}-56^{2}}=
=\frac{1}{8}\sqrt{(65-56)(65+56)}=\frac{1}{8}\cdot3\cdot11=\frac{33}{8}.
Следовательно (см. задачу 1257)
HA=2OM=2\cdot\frac{33}{8}=\frac{33}{4}.