13092. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
через середину диагонали BD
проведена прямая, параллельная другой диагонали AC
. Эта прямая пересекает сторону AD
в точке E
. Докажите, что отрезок CE
делит четырёхугольник ABCD
на равновеликие части.
Решение. Пусть M
— середина диагонали BD
. Поскольку точка M
лежит на прямой, параллельной AC
, треугольник AMC
равновелик треугольнику AEC
. Значит, четырёхугольник ABCE
равновелик четырёхугольнику ABCM
.
Пусть прямые AC
и BD
пересекаются под углом \alpha
. Тогда (см. задачу 3018)
S_{ABCE}=S_{ABCM}=\frac{1}{2}AC\cdot BM\sin\alpha=\frac{1}{2}AC\cdot\frac{1}{2}BD\sin\alpha=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BD\cdot AC=\frac{1}{2}S_{ABCD}.
Следовательно,
S_{ABCS}=S_{\triangle CDE}.
Что и требовалось доказать.