13097. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно \sqrt{3}+1
.
Ответ. 30^{\circ}
и 60^{\circ}
.
Решение. Пусть меньший острый угол данного треугольника равен \alpha
, противолежащий ему катет равен a
, второй катет равен b
, а радиусы описанной и описанной окружностей равны R
и R
. Тогда гипотенуза равна 2R
(см. задачу 8),
a=2R\sin\alpha,~b=2r\cos\alpha,
а так как
r=\frac{a+b-2R}{2}=\frac{2R\sin\alpha+2R\cos\alpha-2R}{2}=R(\sin\alpha+\cos\alpha-1)
(см. задачу 217), то
\sin\alpha+\cos\alpha-1=\frac{r}{R}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2},
откуда
\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+1=\frac{\sqrt{3}+1}{2},
причём обе части этого равенства положительны, так как \alpha
— острый угол.
После возведения обеих частей равенства в квадрат, получим
1+\sin2\alpha=1+\frac{\sqrt{3}},~\mbox{или}~\sin2\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2},
а так как 2\alpha\leqslant90^{\circ}
, то 2\alpha=60^{\circ}
. Следовательно, \alpha=30^{\circ}
, а второй острый угол треугольника равен 60^{\circ}
.