1310. В окружности с центром O
проведён диаметр; A
и B
— точки окружности, расположенные по одну сторону от этого диаметра. На диаметре взята такая точка M
, что AM
и BM
образуют равные углы с диаметром. Докажите, что \angle AOB=\angle AMB
.
Указание. Продолжите AM
и BM
до пересечения с окружностью и примените теорему об угле между пересекающимися хордами (см. задачу 26).
Решение. Продолжим AM
и BM
за точку M
до пересечения с окружностью в точках A_{1}
и B_{1}
. Дуга A_{1}B_{1}
симметрична дуге AB
относительно диаметра. Поскольку угол AMB
измеряется полусуммой равных дуг AB
и A_{1}B_{1}
(см. задачу 26), то его градусная мера равна градусной мере каждой из этих дуг, т. е. угол AMB
равен центральному углу AOB
.