13105. В прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 вписана окружность. Через её центр проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Найдите отрезки, сторон треугольника, высекаемые построенными прямыми.
Ответ. \frac{8}{2}
, \frac{3}{2}
, \frac{25}{6}
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через центр I
вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC
параллельно катету AC=8
, пересекает катет BC=6
и гипотенузу AB=10
в точках A_{1}
и C_{1}
соответственно; прямая, проходящая через точку I
параллельно катету BC
, пересекает катет AC
и гипотенузу AB
в точках B_{1}
и C_{2}
соответственно; прямая, проходящая через точку I
параллельно гипотенузе BC
, пересекает катеты BC
и AC
в точках A_{2}
и B_{2}
соответственно.
Пусть r
— радиус вписанной окружности данного треугольника. Тогда (см. задачу 217)
r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{8+6-10}{2}=2.
Поскольку IB_{1}\perp AC
, окружность касается катета AC
в точке B_{1}
. Значит, IB_{1}=r=2
. Стороны треугольника B_{2}IB_{1}
соответственно параллельны сторонам треугольника ABC
, поэтому эти треугольники подобны, причём коэффициент подобия равен
\frac{IB_{1}}{BC}=\frac{r}{BC}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Следовательно,
B_{1}B_{2}=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}\cdot8=\frac{8}{3}.
Аналогично, треугольники IA_{2}A_{1}
и ABC
подобны с коэффициентом \frac{IA_{1}}{AC}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}
, поэтому
A_{1}A_{2}=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}\cdot6=\frac{3}{2}.
Пусть CH
— высота треугольника ABC
. Тогда (см. примечание к задаче 1967)
CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=\frac{24}{5}.
Треугольники C_{1}C_{2}I
и ABC
подобны, а так как IC
— высота треугольника C_{1}IC_{2}
, соответствующая высоте CH
треугольника ABC
, то коэффициент подобия равен \frac{IC}{CP}=\frac{2}{\frac{24}{5}}=\frac{5}{12}
. Следовательно,
C_{1}C_{2}=\frac{5}{12}AB=\frac{5}{12}\cdot10=\frac{25}{6}.