13106. Вершины прямоугольника, вписанного в окружность, делят её на четыре дуги. Найдите расстояния от середины одной из наибольших дуг до вершин прямоугольника, если стороны его равны 24 и 7.
Ответ. 15 и 20.
Решение. Пусть ABCD
— прямоугольник со сторонами AB=24
и BC=7
, M
— середина не содержащей точки C
дуги AB
его описанной окружности. Обозначим MA=MB=x
, ND=MC=y
(x\lt y)
, \angle BAD=90^{\circ}
.
Поскольку из точки A
отрезок BD
виден под прямым углом, диагональ BD
прямоугольника — диаметр окружности, причём
BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=25.
Тогда
\angle AMD=\angle ABD=\alpha.
Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что
\cos\alpha=\frac{AB}{BD}=\frac{24}{25}.
По теореме косинусов
7^{2}=AD^{2}=MA^{2}+MD^{2}-2MA\cdot MD\cos\alpha=x^{2}+y^{2}-2xy\cdot\frac{24}{25}.
Точка M
лежит на окружности с диаметром BD
, поэтому \angle BMD=90^{\circ}
. По теореме Пифагора
25^{2}=BD^{2}=MB^{2}+MD^{2}=x^{2}+y^{2}.
Вычитая из второго равенства первое, получим
2xy\cdot\frac{24}{25}=625-49=576,~xy=300,~y=\frac{300}{x}.
Подставив найденное выражение для y
во второе уравнение, получим
x^{2}+\frac{300^{2}}{x^{2}}=25^{2},~x^{4}-25^{2}x^{2}+300^{2}=0,
откуда
x^{2}=\frac{25^{2}\pm\sqrt{25^{4}-4\cdot300^{2}}}{2}=\frac{25^{2}\pm\sqrt{625^{2}-600^{2}}}{2}=
=\frac{25^{2}\pm\sqrt{(625-600)(626+600)}}{2}==\frac{25^{2}\pm\sqrt{25\cdot1225}}{2}=
=\frac{25^{2}\pm\sqrt{25^{2}\cdot49}}{2}=\frac{25^{2}\pm25\cdot7}{2}=\frac{626\pm175}{2},
т. е. либо x^{2}=400
, либо x^{2}=225
, а так как x\lt y
, то x=15
и y=20
.