13108. Периметр прямоугольного треугольника равен 60. Найдите его стороны, если высота, проведённая к гипотенузе, равна 12.
Ответ. 15, 20 и 25.
Решение. Обозначим катеты и гипотенузу треугольника через a
, b
и c
соответственно, а высоту, проведённую к гипотенузе, — через h
. Тогда (см. примечание к задаче 1967) h=\frac{ab}{c}
, откуда ab=hc=12c
.
По теореме Пифагора
a^{2}+b^{2}=c^{2}~\Rightarrow~(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=c^{2}+2ab=c^{2}+24c.
С другой стороны,
(a+b)^{2}=(60-c)^{2}=3600-120c+c^{2},
поэтому
c^{2}+24c=3600-120c+c^{2},\mbox{или}~144c=3600,
откуда c=25
. Тогда
a+b=\sqrt{c^{2}+24c}=\sqrt{25^{2}+24\cdot25}=5\sqrt{25+24}=35,
ab=12c=12\cdot25=300.
Таким образом, получили систему
\syst{a+b=35\\ab=300,\\}
из которой находим, что a=15
, b=20
или a=20
, b=15
.