13109. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 36^{\circ}
, а биссектриса, проведённая к боковой стороне, равна \sqrt{20}
. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 2\sqrt{5}
, 5+\sqrt{5}
, 5+\sqrt{5}
.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
с основанием AC
и углом 36^{\circ}
при вершине B
. Тогда \angle BAC=\angle ACB=72^{\circ}
. Пусть CD
— биссектриса треугольника ABC
. Тогда
\angle BCD=\angle ACD=36^{\circ},~~\angle ADC=\angle CBD+\angle BCD=36^{\circ}+36^{\circ}=72^{\circ},
значит, треугольники ACD
и BCD
равнобедренные. Поэтому
AC=CD=\sqrt{20}=2\sqrt{5},~BD=CD=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Обозначим BC=AB=x
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}
(см. задачу 1509), или \frac{2\sqrt{5}}{x-2\sqrt{5}}=\frac{x}{2\sqrt{5}}
. Значит, x^{2}-2x\sqrt{5}-20=0
. Число x=5+\sqrt{5}
— положительный корень этого уравнения. Следовательно,
AC=BC=5+\sqrt{5},~AC=2\sqrt{5}.