13122. Пусть стороны треугольника равны a
и b
, а биссектриса треугольника, проведённая из их общей вершины, равна l
. Докажите, что если \frac{1}{l}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}
, то угол, из вершины которого проведена биссектриса, равен 120^{\circ}
.
Указание. См. задачу 4021.
Решение. Пусть угол, о котором говорится в условии, равен \alpha
. Тогда (см. задачу 4021)
l=\frac{2ab\cos\frac{\alpha}{2}}{a+b}=2\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{ab}{a+b}=2\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=2\cos\frac{\alpha}{2}\cdot l,
откуда \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}
. Значит, \frac{\alpha}{2}=60^{\circ}
. Следовательно, \alpha=120^{\circ}
. Что и требовалось доказать.