13133. Бумажный квадрат ABCD
перегнули по прямой так, что вершина A
совпала с внутренней точкой M
стороны CD
, а сторона AB
(в новом положении) пересекла сторону BC
в точке N
. Найдите угол MAN
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Точку линии сгиба, лежащую на стороне AD
, обозначим через K
. Точки K
и M
симметричны относительно прямой сгиба, поэтому AK=AM
и \angle MAK=\angle AMK
.
Опустим перпендикуляр AP
на прямую MN
. Поскольку \angle KMN=\angle KAB=90^{\circ}
, прямые AP
и KM
параллельны, поэтому \angle PAM=\angle AMK=\angle MAK
. Значит, AM
— биссектриса угла DAP
, а прямоугольные треугольники PAM
и DAM
равны по гипотенузе и острому углу. Тогда AP=AD=AB
. Тогда прямоугольные треугольники ABN
и APN
равны по катету и гипотенузе. Значит, AN
— биссектриса угла PAB
. Следовательно,
\angle MAN=\angle PAM+\angle PAN=\frac{1}{2}\angle PAD+\frac{1}{2}\angle PAB=
=\frac{1}{2}(\angle PAD+\angle PAB)=\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Примечание. Из приведённых рассуждений также следует, что A
— центр вневписанной окружности треугольника MCN
, а полупериметр этого треугольника равен стороне квадрата.