13135. В треугольнике даны две стороны a
и b
(a\gt b
) и площадь S
. Найдите угол между медианой и высотой, проведёнными к третьей стороне.
Ответ. \arccos\frac{4S}{\sqrt{(a^{2}-b^{2})^{2}+16S^{2}}}=\arctg\frac{a^{2}-b^{2}}{4S}
.
Решение. Первый способ. Пусть BC=a
, AC=b
— данные стороны треугольника ABC
с данной площадью S
, а \varphi
— искомый угол между медианой CM
и высотой CH
. Обозначим AB=c
, CH=h
и MH=x
.
По теореме Пифагора
CH^{2}+BH^{2}=BC^{2},~CH^{2}+AH^{2}=AC^{2},
или
h^{2}+\left(x+\frac{c}{2}\right)^{2}=a^{2},~h^{2}+\left(x-\frac{c}{2}\right)^{2}=b^{2}.
Вычитая из первого равенства второе, получим 2cx=a^{2}-b^{2}
, откуда x=\frac{a^{2}-b^{2}}{2c}
. Следовательно,
\tg\varphi=\tg\angle MCH=\frac{x}{h}=\frac{\frac{a^{2}-b^{2}}{2c}}{h}=\frac{a^{2}-b^{2}}{2ch}=\frac{a^{2}-b^{2}}{4S}.
Второй способ. Пусть BC=a
, AC=b
— данные стороны треугольника ABC
с данной площадью S
, а \varphi
— искомый угол между медианой CM
и высотой CH
. Обозначим \angle ACB=\gamma
, AB=c
, CM=m
и CH=h
. Из равенств
S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=S,~\frac{1}{2}ch=S
получаем, что
\sin\gamma=\frac{2S}{ab},~h=\frac{2S}{c}.
По теореме косинусов
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma,
а по формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014) —
m^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-(a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma))=
=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+2ab\cos\gamma).
Значит,
\cos^{2}\varphi=\left(\frac{h}{m}\right)^{2}=\frac{h^{2}}{m^{2}}=\frac{\frac{4S^{2}}{c^{2}}}{\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+2ab\cos\gamma)}=
=\frac{\frac{4S^{2}}{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma}}{\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+2ab\cos\gamma)}=\frac{16S^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}\cos^{2}\gamma}=
=\frac{16S^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}(1-\sin^{2}\gamma)}=\frac{16S^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}\left(1-\frac{4S^{2}}{a^{2}b^{2}}\right)}=
=\frac{16S^{2}}{(a^{2}-b^{2})^{2}+16S^{2}}.
Тогда
\tg^{2}\varphi=\frac{1}{\cos^{2}\varphi}-1=\frac{(a^{2}-b^{2})^{2}+16S^{2}}{16S^{2}}-1=\frac{(a^{2}-b^{2})^{2}}{16S^{2}}.
Следовательно,
\tg\varphi=\frac{|a^{2}-b^{2}|}{4S}=\frac{a^{2}-b^{2}}{4S},
так как a\gt b
.