13142. Стороны параллелограмма равны a
и b
(a\lt b)
. Из середины большей стороны параллельная сторона видна под углом \alpha
. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ. \frac{1}{4}(4a^{2}-b^{2})\tg\alpha
.
Решение. Пусть стороны AB
и BC
данного параллелограмма ABCD
равны a
и b
соответственно, M
— середина большей стороны BC
, \angle AMD=\alpha
, а искомая площадь параллелограмма ABCD
равна S
.
Опустим перпендикуляр MH=h
на сторону AD
. Предположим, что точка H
лежит на отрезке AD
. Тогда луч MH
лежит между сторонами угла AMD
. Обозначим \angle AMH=\beta
и \angle DMH=\gamma
. Тогда
\beta+\gamma=\alpha,~AD=AH+DH.
Пусть N
— середина стороны AD
. Тогда MN=AB=a
. Из прямоугольных треугольников AHM
и DHM
получаем
AH=h\tg\beta,~DH=h\tg\gamma,
Поэтому
b=AD=AH+DH=h(\tg\beta+\tg\gamma),
откуда
\tg\beta+\tg\gamma=\frac{b}{h}.
По формуле тангенса суммы получаем
\tg\alpha=\tg(\beta+\gamma)=\frac{\tg\beta+\tg\gamma}{1-\tg\beta\tg\gamma}=\frac{\frac{b}{h}}{1-\frac{AH}{h}\cdot\frac{DH}{h}}=\frac{bh}{h^{2}-AH\cdot DH}=
=\frac{bh}{h^{2}-\left(\frac{b}{2}+NH\right)\left(\frac{b}{2}-NH\right)}=\frac{bh}{h^{2}-\left(\frac{b^{2}}{4}-NH^{2}\right)}=\frac{bh}{(h^{2}+NH^{2})-\frac{b^{2}}{4}}=
=\frac{bh}{MN^{2}-\frac{b^{2}}{4}}=\frac{bh}{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}=\frac{S}{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}=\frac{4S}{4a^{2}-b^{2}}.
Следовательно,
S=\frac{1}{4}(4a^{2}-b^{2})\tg\alpha.
Если точка H
окажется на продолжении отрезка AD
, то аналогично получим то же результат.