13146. Пусть a
, b
и c
— стороны остроугольного треугольника, а d_{a}
, d_{b}
и d_{c}
— соответственно расстояния от центра описанной окружности до этих сторон. Докажите, что
4\left(\frac{a}{d_{a}}+\frac{b}{d_{b}}+\frac{c}{d_{c}}\right)=\frac{a}{d_{a}}\cdot\frac{b}{d_{b}}\cdot\frac{c}{d_{c}}.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
; OK=d_{a}
, OL=d_{b}
и OM=d_{c}
— перпендикуляры к сторонами BC
, AC
и AB
соответственно. Обозначим \angle BOK=\alpha
, \angle AOC=\beta
и \angle AOM=\gamma
.
В равнобедренных треугольниках AOB
, BOC
и AOC
высоты OM
, OK
и OL
являются биссектрисами, поэтому
\alpha+\beta+\gamma=\frac{1}{2}(\angle BOC+\angle AOC+\angle AOB)=\frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=180^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника BKO
получаем
\tg\alpha=\frac{BK}{OK}=\frac{\frac{1}{2}a}{d_{a}}=\frac{a}{2d_{a}},
откуда \frac{a}{d_{a}}=2\tg\alpha
. Аналогично,
\frac{b}{d_{b}}=2\tg\beta,~\frac{c}{d_{c}}=2\tg\gamma.
Таким образом, требуется доказать, что
4\cdot2(\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma)=8\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma,
или
\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma,
если \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
.
Действительно,
\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma~\Leftrightarrow~\tg\alpha+\tg\beta=\tg\alpha\tg\beta-\tg\gamma~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\tg\alpha+\tg\beta=-\tg\gamma(1-\tg\alpha\tg\beta)~\Leftrightarrow~\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}=-\tg\gamma~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\tg(\alpha+\beta)=-\tg\gamma~\Leftrightarrow~\tg(180^{\circ}-\gamma)=-\tg\gamma.
Отсюда следует утверждение задачи.