13161. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
отмечены точки D
и E
соответственно. Точки B
, C
, E
и D
лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADC
, если известно, что \angle CDE=\angle BAC
и что радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен 1.
Ответ. 1.
Решение. По теореме о внешнем угле треугольника и теореме о вписанных углах получаем
\angle BDC=\angle DAC+\angle ACD=\angle BAC+\angle ECD=
=\angle CDE+\angle EBD=\angle CBE+\angle EBD=\angle CBD.
Значит, треугольник BCD
равнобедренный, CD=BC
.
Пусть R=1
и R_{1}
— радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC
и ADC
соответственно. По теореме синусов
R_{1}=\frac{CD}{2\sin\angle CBD}=\frac{BC}{2\sin\angle BDC}=R=1.