13166. Окружность радиуса \frac{3}{2}
касается стороны BC
треугольника ABC
в её середине и пересекает сторону AB
в точках D
и E
, причём AD:DE:EB=1:2:1
. Чему может равняться AC
, если \angle BAC=30^{\circ}
?
Ответ. \sqrt{3}\pm\sqrt{2}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, её радиус равен r=\frac{3}{2}
, F
— середина стороны BC
. Обозначим \angle ACB=\gamma
, AD=BE=x
. Тогда DE=2x
.
Треугольники ADO
и BEO
равны по двум сторонам (AD=BE
и AO=BO
как радиусы окружности) и углу между ними (\angle ADO=\angle BEO
как смежные углы равных углов при основании DE
равнобедренного треугольника DOE
). Значит, OA=OB
. Кроме того, треугольник BOC
равнобедренный, так как его высота OF
является медианой. Значит, OC=OB
. Таким образом, точки A
, B
и C
равноудалены от точки O
, поэтому O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
Пусть R
— радиус этой окружности. Тогда
R=OB=\frac{OF}{\cos\angle BOF}=\frac{r}{\cos30^{\circ}}=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
По теореме о касательной и секущей
\frac{r^{2}}{3}=\left(\frac{r}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\left(\frac{OF}{\ctg30^{\circ}}\right)^{2}=BF^{2}=BE\cdot BD=x\cdot3x=3x^{2},
откуда x=\frac{r}{3}=\frac{1}{2}
, AB=4x=2
, а так как
BC=2BF=2\cdot\frac{1}{2}R=R=\sqrt{3},
то по теореме синусов из треугольника ABC
получаем
\sin\gamma=\frac{AB}{BC}\sin30^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Тогда \cos\gamma=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
(оба значения достигаются и зависят от того, находятся точки A
и C
по одну сторону от прямой OB
или нет). Следовательно, по теореме синусов
AC=2R\sin\angle ABC=2R\sin(30^{\circ}+\gamma)=2R(\sin30^{\circ}\cos\gamma+\cos30^{\circ}\sin\gamma)=
=R(\cos\gamma+\sqrt{3}\sin\gamma)=\sqrt{3}\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+1\right)=\sqrt{3}\pm\sqrt{2}.