13170. Трапеция KLMN
вписана в окружность радиуса R
и описана около окружности радиуса r
. Найдите r
, если R=20
, а косинус угла между диагональю KM
и основанием KN
равен \frac{4}{5}
.
Ответ. \frac{45}{4}
.
Указание. Проекция диагонали равнобедренной описанной трапеции на основание равна средней линии трапеции (см. задачи 1930 и 1921).
Решение. Пусть O
и Q
— центр соответственно описанной и вписанной окружностей трапеции KLMN
. Поскольку около трапеции описана окружность, эта трапеция равнобедренная (см. задачу 5003). Значит, проекция KH
диагонали KM
трапеции на основание KN
равна полусумме оснований, т. е. средней линии l
трапеции.
Обозначим \angle MKN=\alpha
. По условию \cos\alpha=\frac{4}{5}
, поэтому \sin\alpha=\frac{3}{5}
, а \ctg\alpha=\frac{4}{3}
. Из прямоугольного треугольника KHM
получаем
l=KH=MH\ctg\alpha=2r\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{3}r.
Пусть A
— середина боковой стороны MN
трапеции. Тогда OM=R=20
, OA\perp MN
, а так как
\angle AOM=\frac{1}{2}\angle MON=\angle MKN=\alpha,
то из прямоугольного треугольника OAM
получаем
OA=OM\cos\angle AOM=R\cos\alpha=20\cdot\frac{4}{5}=16.
Отрезок QA
— половина средней линии трапеции, поэтому
QA=\frac{1}{2}KH=\frac{4}{3}r.
Пусть B
— точка касания боковой стороны MN
с вписанной окружностью трапеции. Тогда QB\perp MN
и QB=r
. Поскольку \angle BQA=\angle QAO
, прямоугольные треугольники BQA
и QAO
подобны, поэтому
\frac{QB}{QA}=\frac{QA}{OA},~\mbox{или}~\frac{r}{\frac{4}{3}r}=\frac{\frac{4}{3}r}{16},
откуда r=9
.