13178. На сторонах AB
и BC
прямоугольника ABCD
выбраны точки F
и G
соответственно. На сторону CD
из точки F
опущен перпендикуляр FK
. На сторону AD
из точки G
опущен перпендикуляр GH
. Точка пересечение FK
и GH
обозначена через E
. Найдите площадь треугольника DFG
, если известно, что площади прямоугольников ABCD
и HEKD
равны 20 и 8 соответственно.
Ответ. 6.
Решение. Пусть AD=a
, DC=b
, HD=x
, а DK=y
. Тогда
S_{\triangle DFG}=S_{ABCD}-S_{\triangle AFD}-S_{\triangle FGB}-S_{\triangle DGC}=
=ab-\frac{1}{2}ay-\frac{1}{2}(b-y)(a-x)-\frac{1}{2}bx=
=ab-\frac{1}{2}ay-\frac{1}{2}ay(ab-bx-ay+xy)-\frac{1}{2}bx=
=ab-\frac{1}{2}ay-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}bx+\frac{1}{2}ay-\frac{1}{2}xy-\frac{1}{2}bx=
=\frac{ab-xy}{2}=\frac{S_{ABCD}-S_{HEKD}}{2}=\frac{20-8}{2}=6.