13181. В окружности три хорды AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в одной точке. Угловые меры дуг AC_{1}
AB
, CA_{1}
и A_{1}B_{1}
равны соответственно 150^{\circ}
, 30^{\circ}
, 60^{\circ}
и 30^{\circ}
. Найдите угловую меру дуги B_{1}C_{1}
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть три данные хорды пересекаются в точке T
, причём
\smile AB=\alpha,~\smile BC=\beta,~\smile CA_{1}=\gamma,~\smile A_{1}B_{1}=\delta,~\smile B_{1}C_{1}=\varphi,~\smile C_{1}A=\psi.
Центральный угол AOB
равен \alpha
, а соответствующий ему вписанный угол равен \frac{\alpha}{2}
. Тогда, если R
— радиус окружности, то по теореме синусов AB=2R\sin\frac{\alpha}{2}
. Аналогично, для хорд BC
, B_{1}C_{1}
, CA_{1}
и AC_{1}
.
Треугольники ATB
и B_{1}TA_{1}
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AT}{B_{1}T}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{2R\sin\frac{\alpha}{2}}{2R\sin\frac{\beta}{2}}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\delta}{2}}.
Аналогично, треугольник BTC
подобен треугольнику B_{1}TC_{1}
, а треугольник CTA_{1}
— треугольнику ATC_{1}
, поэтому
\frac{B_{1}T}{CT}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{\sin\frac{\varphi}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}},~\frac{CT}{AT}=\frac{CA_{1}}{AC_{1}}=\frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\psi}{2}}.
Перемножив три последних равенства, получим
1=\frac{AT}{B_{1}T}\cdot\frac{B_{1}T}{CT}\cdot\frac{CT}{AT}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\delta}{2}}\cdot\frac{\sin\frac{\varphi}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}}\cdot\frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\psi}{2}}.
Таким образом, необходимым (а на самом деле и достаточным) условием того, что три хорды пересекаются в одной точке является равенство
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\varphi}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\sin\frac{\delta}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\psi}{2}.
В нашем случае
\alpha=30^{\circ},~\gamma=60^{\circ},~\delta=30^{\circ},~\psi=150^{\circ},
причём
\alpha+\beta+\gamma+\delta+\varphi+\psi=360^{\circ}.
Тогда
\beta+\varphi=360^{\circ}-(\alpha+\gamma+\delta+\psi)=360^{\circ}-(30^{\circ}+60^{\circ}+30^{\circ}+150^{\circ})=
=360^{\circ}-270^{\circ}=90^{\circ},
поэтому
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\varphi}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\sin\frac{\delta}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\psi}{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin15^{\circ}\sin\frac{\varphi}{2}\sin30^{\circ}=\sin15^{\circ}\sin\frac{90^{\circ}-\varphi}{2}\sin75^{\circ}~\Leftrightarrow
\sin\frac{\varphi}{2}=2\sin\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)\sin75^{\circ}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\frac{\varphi}{2}=\cos\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}-75^{\circ}\right)-\cos\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}+75^{\circ}\right)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\frac{\varphi}{2}=\cos\left(\frac{\varphi}{2}+30^{\circ}\right)-\cos\left(\frac{\varphi}{2}-120^{\circ}\right)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\frac{\varphi}{2}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}\cos\frac{\varphi}{2}-\sin\frac{\varphi}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\varphi}{2}+\sqrt{3}\sin\frac{\varphi}{2}\right)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin\frac{\varphi}{2}=(\sqrt{3}-1)\cos\frac{\varphi}{2}+(1-\sqrt{3})\sin\frac{\varphi}{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2=(\sqrt{3}-1)\ctg\frac{\varphi}{2}+(1-\sqrt{3})~\Leftrightarrow~\ctg\frac{\varphi}{2}=2+\sqrt{3},
откуда \frac{\varphi}{2}=30^{\circ}
. Следовательно, \varphi=60^{\circ}
.