13183. Точка D
лежит на стороне BC
остроугольного треугольника ABC
, точки P
и Q
— проекции точки D
на стороны AB
и AC
соответственно. Докажите, что четырёхугольник BCQP
равновелик треугольнику APQ
тогда и только тогда, когда центр описанной окружности треугольника ABC
лежит на отрезке PQ
.
Решение. Проведём диаметр AA'
описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
\angle ABA'=\angle ACA'=90^{\circ},
поэтому BA'\parallel PD
и CA'\parallel QD
. Значит,
S_{\triangle PA'D}=S_{\triangle PBD}~\mbox{и}~S_{\triangle QA'D}=S_{\triangle QCD}.
Тогда
S_{\triangle PA'Q}=S_{\triangle PA'D}+S_{\triangle PDQ}+S_{\triangle QA'D}=
=S_{\triangle PBD}+S_{\triangle PDQ}+S_{\triangle QCD}=S_{BCQP}.
Следовательно, равенство S_{\triangle APQ}=S_{BCQP}
равносильно равенству S_{\triangle APQ}=S_{\triangle A'PQ}
, которое равносильно тому, что точка пересечения AA'
и PQ
совпадает с серединой диаметра AA'
, т. е. с центром описанной окружности треугольника ABC
. Отсюда следует утверждение задачи.