13197. В треугольнике ABC
, в котором все три стороны попарно различны, проведены биссектрисы углов A
и B
, делящие его на четырёхугольник и три треугольника, два из которых равнобедренные. Найдите углы исходного треугольника.
Ответ. \frac{4\pi}{7}
, \frac{2\pi}{7}
, \frac{\pi}{7}
.
Решение. Пусть в треугольнике ABC
биссектрисы AK
и BL
пересекаются в точке O
. Обозначим \angle CAB=\alpha
, \angle CBA=\beta
. Треугольник ABO
равнобедренным быть не может, так как не может выполняться ни одно из следующих условий:
\alpha=\beta,~\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\alpha+\frac{\beta}{2}=180^{\circ},
\frac{\beta}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha}{2}=\beta+\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}.
Найдём, при каком условии будет равнобедренным треугольник ALO
.
Равенство \angle LAO=\angle LOA
невозможно, поскольку тогда \angle LAO=\angle BAO
, а прямые BL
и AB
не могут быть параллельными.
Равенство \angle LAO=\angle ALO
равносильно равенству
\alpha+\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=180^{\circ},~\mbox{или}~3\alpha+\beta=360^{\circ}.
Равенство \angle ALO=\angle AOL
равносильно равенству
\alpha+\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)+\frac{\beta}{2}=180^{\circ},~\mbox{или}~3\alpha+2\beta=360^{\circ}.
Аналогично, треугольник BKO
будет равнобедренным в случаях
3\beta+\alpha=360^{\circ},~3\beta+2\alpha=360^{\circ}.
Тогда в силу условия задачи верна одна из следующих систем равенств:
\syst{3\alpha+\beta=360^{\circ}\\3\beta+\alpha=360^{\circ},\\}~\syst{3\alpha+\beta=360^{\circ}\\3\beta+2\alpha=360^{\circ},\\}~\syst{3\alpha+2\beta=360^{\circ}\\3\beta+\alpha=360^{\circ},\\}~\syst{3\alpha+2\beta=360^{\circ}\\3\beta+2\alpha=360^{\circ}.\\}
Из первой и четвёртой системы получаем, что \alpha=\beta
, что противоречит условию задачи. Из второй системы получаем, что
\alpha=2\beta,~\beta=\frac{360^{\circ}}{7},~\alpha=\frac{720^{\circ}}{7}.
а из третьей —
\beta=2\beta,~\alpha=\frac{360^{\circ}}{7},~\beta=\frac{720^{\circ}}{7}.