13199. В треугольнике ABC
с прямым углом при вершине A
и углом 30^{\circ}
при вершине A
вписанная окружность касается стороны AB
в точке P
, стороны AC
— в точке Q
, а M
— середина стороны AC
. Докажите, что PM=PQ
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, r
— её радиус, R
— точка касания с катетом BC
. Медиана BM
прямоугольного треугольника ABC
равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому треугольник QCR
равнобедренный (даже равносторонний, так как \angle QCR=60^{\circ}
).
Из равенства CQ=CR
получаем, что QM=BR
, а так как BPOR
— квадрат, то
QM=BR=OP=r.
Проведём высоту PS
треугольника MPQ
. Поскольку OQ\perp AC
и PS\perp AC
, прямые PS
и OQ
параллельны. По теореме об углах с соответственно перпендикулярными сторонами угол при вершине P
прямоугольной трапеции POQS
равен углу BAC
, т. е. 30^{\circ}
. Значит,
QS=\frac{1}{2}OP=\frac{r}{2}=\frac{1}{2}QM,
и S
— середина отрезка QM
. Высота PS
треугольника MPQ
является медианой, следовательно этот треугольник равнобедренный, PM=PQ
. Что и требовалось доказать.