13200. Вокруг треугольника ABC
с углом 60^{\circ}
при вершине B
описана окружность. Касательные к ней, проведённые в точках A
и C
, пересекаются в точке B_{1}
. На лучах AB
и CB
отметили точки A_{0}
и C_{0}
соответственно, причём AA_{0}=AC=CC_{0}
. Докажите, что точки A_{0}
, C_{0}
и B_{1}
лежат на одной прямой.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ACB_{1}=\angle CAB_{1}=\angle ABC=60^{\circ},
поэтому треугольник ACB_{1}
равносторонний. Значит, AC=AA_{0}=AB_{1}
, т. е. треугольник B_{1}AA_{0}
равнобедренный с основанием B_{1}A_{0}
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle AB_{1}A_{0}=\frac{180^{\circ}-\angle B_{1}AA_{0}}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha+60^{\circ}}{2}=\frac{120^{\circ}-\alpha}{2}\lt60^{\circ}.
Значит, точки A_{0}
лежит внутри угла AB_{1}C
. Аналогично, \angle CB_{1}C_{0}=\frac{120^{\circ}-\gamma}{2}
. Тогда
\angle AB_{1}A_{0}+\angle CB_{1}C_{0}=\frac{120^{\circ}-\alpha}{2}+\frac{120^{\circ}-\gamma}{2}=
=\frac{240^{\circ}-\alpha-\gamma}{2}=\frac{240^{\circ}-120^{\circ}}{2}=60^{\circ}=\angle AB_{1}C.
Значит, лучи B_{1}A_{0}
и B_{1}C_{0}
совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.