1321. На стороне CB
треугольника ABC
взята точка M
, а на стороне CA
точка P
. Известно, что \frac{CP}{CA}=2\cdot\frac{CM}{CB}
. Через точку M
проведена прямая, параллельная CA
, а через P
— прямая параллельная AB
. Докажите, что построенные прямые пересекаются на медиане, выходящей из вершины C
.
Указание. Пусть прямая, проведённая через точку P
параллельно AB
, пересекает вторую проведённую прямую в точке K
, а сторону BC
— в точке L
. Докажите, что MK
— средняя линия треугольника CLP
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку P
параллельно AB
, пересекает вторую проведённую прямую в точке K
, а сторону BC
— в точке L
. Тогда
\frac{CM+ML}{CB}=\frac{CP}{CA}=2\cdot\frac{CM}{CB},
поэтому
CM+ML=2\cdot CM,~CM=ML.
Значит, MK
— средняя линия треугольника CLP
, а K
— середина отрезка LP
.
Докажем теперь, что точка K
расположена на медиане треугольника ABC
. Действительно, пусть N
— точка пересечения прямой CK
со стороной AB
. Тогда
\frac{BN}{LK}=\frac{CN}{CK}=\frac{AN}{KP},
а так как LK=KP
, то BN=AN
, т. е. N
— середина стороны AB
.