13227. На стороне AB
треугольника ABC
отмечены точки C_{1}
и C_{2}
(C_{2}
ближе к B
), на стороне BC
— точки A_{1}
и A_{2}
(A_{2}
ближе к C
), на стороне CA
— точки B_{1}
и B_{2}
(B_{2}
ближе к A
). Оказалось, что C_{2}A_{1}\parallel CA
, A_{2}B_{1}\parallel AB
и B_{2}C_{1}\parallel BC
. При этом все эти шесть прямых касаются окружности, вписанной в треугольник ABC
. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники AB_{1}C_{1}
, BC_{2}A_{1}
и CA_{2}B_{1}
, соответственно равны \sqrt{2}
, \sqrt{8}
и \sqrt{18}
. Найдите отношение AB:C_{2}B
.
Ответ. 3.
Указание. См. задачу 996.
Решение. Обозначим через r
, r_{1}
, r_{2}
и r_{3}
— радиусы вписанных окружностей треугольников ABC
, AB_{1}C_{1}
, BC_{2}A_{1}
и CA_{2}B_{1}
соответственно.
Известно (см. задачу 996), что
r=r_{1}+r_{2}+r_{3}=\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{18}=6\sqrt{2}.
Треугольник ABC
подобен треугольнику C_{2}BA_{1}
с коэффициентом
\frac{r}{r_{2}}=\frac{r_{1}+r_{2}+r_{3}}{r_{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=3.
Следовательно,
\frac{AB}{C_{2}B}=\frac{r}{r_{2}}=3.