13241. Углы некоторого треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Оказалось, что
\frac{\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma-\sin^{2}\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}=\frac{\sqrt{91}}{5}.
Найдите \sin\alpha
.
Ответ. 0,3.
Решение. Сумма углов треугольника равна 180^{\circ}
, поэтому
\sin\alpha=\sin(180^{\circ}-\beta-\gamma)=\sin(\beta+\gamma).
Значит,
\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma-\sin^{2}\alpha=\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma-\sin^{2}(\beta+\gamma)=
=\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma-(\sin\beta\cos\gamma+\cos\beta\sin\gamma)^{2}=
=\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma-\sin^{2}\beta\cos^{2}\gamma-\cos^{2}\beta\sin^{2}\gamma-2\sin\beta\cos\gamma\cos\beta\sin\gamma=
=\sin^{2}\beta(1-\cos^{2}\gamma)+\sin^{2}\gamma(1-\cos^{2}\beta)-2\sin\beta\cos\gamma\cos\beta\sin\gamma=
=\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma+\sin^{2}\gamma\sin^{2}\beta-2\sin\beta\cos\gamma\cos\beta\sin\gamma=
=2\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma-2\sin\beta\cos\gamma\cos\beta\sin\gamma=
=2\sin\beta\sin\gamma(\sin\beta\sin\gamma-\cos\beta\cos\gamma)=-2\sin\beta\sin\gamma\cos(\beta+\gamma).
Тогда
\frac{\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma-\sin^{2}\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}=\frac{\sqrt{91}}{5}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~5(\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma-\sin^{2}\alpha)=\sqrt{91}\sin\beta\sin\gamma~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~-10\sin\beta\sin\gamma\cos(\beta+\gamma)=\sqrt{91}\sin\beta\sin\gamma~\Leftrightarrow~\cos(\beta+\gamma)=-\frac{\sqrt{91}}{10}
(\sin\beta\sin\gamma\ne0
, так как \beta
и \gamma
— углы треугольника). Следовательно,
\sin\alpha=\sin(\beta+\gamma)=\sqrt{1-\cos^{2}(\beta+\gamma)}=\sqrt{1-\frac{91}{100}}=0{,}3.