13242. Окружность пересекает сторону AB
треугольника ABC
в точках K
и L
, сторону BC
— в точках M
и N
, сторону AC
— в точках R
и S
. Дано: KL=MN=RS=5
, AB=18
, BC=24
, \angle ABC=90^{\circ}
. Найдите радиус окружности.
Ответ. 6,5.
Решение. Пусть O
— центр данной окружности. Равнобедренные треугольники KOL
, MON
и ROS
равны по трём сторонам, значит, равны и их высоты, опущенные на основания из общей вершины O
, т. е. точка O
равноудалена от всех сторон треугольника ABC
и расположена внутри треугольника (внутри каждого его угла). Тогда O
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности.
Пусть r
— радиус этой окружности, а r_{1}
— радиус искомой окружности. По теореме Пифагора
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{18^{2}+24^{2}}=6\sqrt{3^{2}+4^{2}}=30.
Тогда (см. задачу 217)
r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{18+24-30}{2}=6.
Следовательно,
r_{1}=\sqrt{OK^{2}+\left(\frac{KL}{2}\right)^{2}}=\sqrt{r^{2}+\frac{KL^{2}}{4}}=\sqrt{36+\frac{25}{4}}=\frac{13}{2}=6{,}5.