13247. В треугольнике ABC
с медианой BM
известно, что AB=4
, BM=\sqrt{3}
, BC=2
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. На продолжении медианы BM
за точку M
отложим отрезок MD=BM
. Тогда ABCD
— параллелограмм, поэтому
\angle ABC=180^{\circ}-\angle BAD,~AD=BC=2,~BD=2BM=2\sqrt{3}.
Поскольку
AB^{2}=16=4+12=AD^{2}+BD^{2},
треугольник ADB
прямоугольный с прямым углом при вершине D
, а так как его катет AD
вдвое меньше гипотенузы BD
, то \angle BAD=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=180^{\circ}-\angle BAD=\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.