13251. Точка M
— середина основания AD
трапеции ABCD
, E
— точка пересечения диагоналей. Известно, что AD=2BC=6ME
. Докажите, что AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}
.
Решение. Положим EM=2a
, AD=12a
, BC=6a
. Пусть N
— точка пересечения продолжения отрезка EM
с основанием BC
. Тогда точка E
лежит на отрезке MN
(см. задачу 1513).
Пусть прямые, проведённые через точку N
параллельно боковым сторонам соответственно AB
и CD
трапеции, пересекают основание AD
в точках P
и Q
соответственно. Тогда ABNP
и DCNQ
— параллелограммы, поэтому
PM=AM-AP=AM-BN=6a-3a=3a,
QM=DM-DQ=DM-CN=6a-3a=3a=PM.
Значит, NM
— медиана треугольника PNQ
.
Треугольник BEN
подобен треугольнику QEM
с коэффициентом \frac{DM}{BN}=\frac{3a}{6a}=\frac{1}{2}
, поэтому EN=\frac{1}{2}EM=a
, а NM=3a=\frac{1}{2}PQ
. Медиана NM
треугольника PNQ
равна половине стороны PQ
, поэтому треугольник PNQ
прямоугольный с прямым углом при вершине N
(см. задачу 1188). Следовательно,
AB^{2}+CD^{2}=NP^{2}+NQ^{2}=PQ^{2}=36a^{2}=(6a)^{2}=BC^{2}.
Что и требовалось доказать.