13253. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
; PK
и PM
— биссектрисы треугольников APD
и BPC
соответственно, а PL
и PN
— биссектрисы треугольников APB
и CPD
соответственно. Докажите, что:
а) DK\cdot AL\cdot BM\cdot CN=KA\cdot LB\cdot MC\cdot ND
;
б) отрезки AM
, BP
и CL
пересекаются в одной точке; аналогично для отрезков BN
, CP
и DM
, для отрезков AN
, DP
и CK
, а также для отрезков DL
, BK
и PA
.
Решение. а) Заметим, что точка P
лежат на отрезках KM
и LN
, так как биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{DK}{KA}=\frac{PD}{PA},~\frac{AL}{LB}=\frac{PA}{PB},~\frac{BM}{MC}=\frac{PB}{PC},~\frac{CN}{ND}=\frac{PC}{PD}.
Перемножив эти равенства, получим
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{NA}=\frac{PD}{PA}\cdot\frac{PA}{PB}\cdot\frac{PB}{PC}\cdot\frac{PC}{PD}=1.
Следовательно,
DK\cdot AL\cdot BM\cdot CN=KA\cdot LB\cdot MC\cdot ND.
Что и требовалось доказать.
б) Перемножив равенства
\frac{CM}{MB}=\frac{PC}{PB}~\mbox{и}~\frac{BL}{LA}=\frac{PB}{PA},
получим
\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BL}{LA}=\frac{PC}{PB}\cdot\frac{PB}{PA}.
Значит,
\frac{AP}{PC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BL}{LA}=\frac{AP}{PC}\cdot\frac{PC}{PB}\cdot\frac{PB}{PA}=1.
Следовательно, по теореме Чевы для треугольника ABC
(см. задачу 1621) отрезки AM
, BP
и CL
пересекаются в одной точке. Аналогично для треугольников BCD
, ADC
и ABD
.
Что и требовалось доказать.