13261. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
отмечены точки X
и Y
соответственно так, что AY=AB
и CX=CB
. Прямая, проходящая через вершину A
параллельно стороне BC
, пересекает прямую, проходящую через вершину C
параллельно стороне AB
, в точке D
. Докажите, что DX=DY
.
Решение. Поскольку \angle BAC=\angle ACD
и \angle BCA=\angle CAD
, то треугольники ABC
и CDA
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Далее, последовательно используя равенство треугольников CDA
и ABC
, равнобедренность треугольника XCB
и параллельность прямых AB
и CD
, получим
\angle CDA=\angle ABC=\angle BXC=\angle XCD.
Тогда треугольники ADC
и XCD
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, DX=AC
. Аналогично доказывается, что DY=AC
. Следовательно, DX=DY