13271. а) В прямоугольном треугольнике ABC
на катете AC
и гипотенузе AB
отмечены точки D
и E
соответственно, причём AD:AC=3:5
и DE\perp AB
. Найдите тангенс угла BAC
, если известно, что \angle CED=45^{\circ}
.
б) Пусть дополнительно известно, что AC=\sqrt{29}
. Найдите площадь треугольника CED
.
Ответ. \tg\angle BAC=\frac{2}{5}
, S_{\triangle CDE}=\frac{6}{5}
.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CDE=\angle BAC+\angle AED=90^{\circ}+\alpha,
\angle DCE=180^{\circ}-(90^{\circ}+\alpha)-45^{\circ}=45^{\circ}-\alpha.
Пусть AD=3x
. Тогда
AC=5x,~CD=2x,~DE=AD\sin\alpha=3x\sin\alpha.
По теореме синусов
\frac{CD}{\sin\angle CED}=\frac{DE}{\sin\angle DCE},~\mbox{или}~\frac{2x}{\sin45^{\circ}}=\frac{3x\sin\alpha}{\sin(45^{\circ}-\alpha)},
откуда
2=\frac{3\sin\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}~\mbox{или}~5\sin\alpha=2\cos\alpha.
Следовательно, \tg\angle BAC=\tg\alpha=\frac{2}{5}
.
б) По условию 5x=AC=\sqrt{29}
, потому x=\frac{\sqrt{29}}{5}
. Тогда
S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}DC\cdot DE\sin\angle CDE=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot3x\sin\alpha\cdot\sin(90^{\circ}+\alpha)=
=3x^{2}\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{2}x^{2}\sin2\alpha=\frac{3}{2}x^{2}\cdot\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^{2}\alpha}=\frac{3}{2}\cdot\frac{29}{25}\cdot\frac{2\cdot\frac{2}{5}}{1+\frac{4}{25}}=\frac{6}{5}.