13274. Даны равнобокая трапеция ABCD
(AD
и BC
— основания, AD\gt BC
) и окружность \omega
с центром C
, касающаяся стороны AD
. Касательные к \omega
, проведённые из точки B
, пересекают прямую AD
в точках P
и Q
(точка P
лежит между Q
и D
). На продолжении стороны CB
за точку B
выбрана такая точка N
, что угол CPN
прямой. Найдите углы ADC
, NQC
и площадь четырёхугольника NCDQ
, если известно, что \angle NCP=\arctg\frac{12}{5}
, AP=\frac{13}{2}
, NC=13
.
Ответ. \angle ADC=\arctg\frac{12}{5}
, \angle NQC=90^{\circ}
, S_{NCDQ}=60
.
Решение. Обозначим данный в условии угол NCP
через \gamma
. Тогда \angle CPD=\angle NCP=\gamma
(как накрест лежащие углы при параллельных прямых); \angle BPC=\angle CPD=\gamma
(окружность \omega
вписана в угол BPD
, поэтому её центр C
лежит на биссектрисе этого угла); \angle NBP=\angle BPD=2\gamma
как накрест лежащие углы при параллельных прямых;
\angle BPN=\angle CPN-\angle BPC=90^{\circ}-\gamma;
\angle BNP=180^{\circ}-\angle PBN-\angle BPN=
=180^{\circ}-2\gamma-(90^{\circ}-\gamma)=90^{\circ}-\gamma=\angle BPN.
Отсюда следует, что треугольники BPC
и BPN
равнобедренные, NB=BP=BC
. Значит,
BP=NB=BP=BC=\frac{1}{2}NC=\frac{13}{2}.
Пусть прямая BQ
касается окружности в точке T
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому
\angle BQP=\angle TBC=\angle PBC=\angle BPQ.
Значит, треугольник BPQ
тоже равнобедренный, BQ=BP=BN=BC
. Медиана QB
треугольника CQN
равна половине стороны CN
, поэтому \angle CQN=90^{\circ}
.
Поскольку BC\parallel AP
и BC=AP
(оба эти отрезка равны \frac{13}{2}
), то ABCP
— параллелограмм, а так как трапеция ABCD
равнобедренная, то
\angle ADC=\angle BAP=\gamma=\arctg\frac{12}{5}.
Пусть CH
— высота трапеции ABCD
. Из равнобедренных треугольников BCP
и CPD
, получаем
CP=2BC\cos\gamma,~CH=CP\sin\gamma=2BC\sin\gamma\cos\gamma=BC\sin2\gamma=
=\frac{2BC\tg\gamma}{1+\tg^{2}\gamma}=\frac{2\cdot\frac{13}{2}\cdot\frac{12}{5}}{1+\frac{144}{25}}=\frac{60}{13}.
Поскольку
\angle NBQ=\angle BQP=\angle BPQ=\angle CBP,
равнобедренные треугольники BNQ
и BPC
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle BNQ=\angle BPC=\angle CPD=\angle CDQ=\gamma,
поэтому NCDQ
— параллелограмм, а так как CN=13
и CH=\frac{60}{13}
, то
S_{NCDQ}=CN\cdot CH=13\cdot\frac{60}{13}=60.